道生成空間の構造的特徴付けとシンプルな十分条件

($\implies$ の証明):
$X$ を道生成空間とする。$X$ へのすべての連続な道からなる集合を $\Lambda = \mathrm{Hom}_{\mathbf{Top}}(I, X)$ とする。各 $\gamma \in \Lambda$ に対して区間 $I_\gamma = I$ を用意し、その直和空間 $\tilde{X} = \coprod_{\gamma \in \Lambda} I_\gamma$ を考える。自然な評価写像 $p: \tilde{X} \to X$ を、各 $t \in I_\gamma$ に対して $p(t) = \gamma(t)$ と定める。
定値写像も道であるため、$p$ は全射 (surjective) である。
道生成空間の定義より、$X$ の部分集合 $U$ が開集合であることと、すべての $\gamma \in \Lambda$ について $\gamma^{-1}(U)$ が $I$ で開集合であることが同値である。直和空間 $\tilde{X}$ の開集合の定義から、これは $p^{-1}(U)$ が $\tilde{X}$ において開集合であることと同値である。全射連続写像 $p$ について「$U$ が開 $\iff$ $p^{-1}(U)$ が開」が成り立つことは、$p$ が商写像であることを意味する。ゆえに $X$ は $I$ の直和空間からの商空間である。

($\impliedby$ の証明):
逆に、$X$ が $p: \coprod_{\lambda \in \Lambda} I_\lambda \to X$ なる商写像を持つとする。$U \subset X$ について、すべての道 $\gamma: I \to X$ に対して $\gamma^{-1}(U)$ が開であると仮定し、$U$ が開集合であることを示す。
各 $\lambda \in \Lambda$ について、$p$ の $I_\lambda$ への制限 $p|_{I_\lambda}$ は $I$ から $X$ への連続な道である。仮定より、$(p|_{I_\lambda})^{-1}(U)$ は $I_\lambda$ において開集合である。これは直和空間において $p^{-1}(U)$ が開集合であることを意味する。
$p$ は商写像であるため、$p^{-1}(U)$ が開集合ならば $U$ は $X$ において開集合である。ゆえに $X$ は道生成空間である。

$X$ を第1可算かつ局所弧状連結な空間とする。
$A \subset X$ を任意の「道に関して閉じた集合」とする。すなわち、すべての連続な道 $\gamma: I \to X$ に対して、$\gamma^{-1}(A)$ が $I$ において閉集合になると仮定する。このとき、$A$ が $X$ において閉集合であることを示せばよい。

$X$ は第1可算空間であるため、列型空間 (sequential space) である。したがって、$A$ が閉集合であることを示すには、$A$ 内の任意の点列 $(x_n)_{n=1}^\infty$ が $x \in X$ に収束するとき、$x \in A$ が成り立つことを示せば十分である。

$x_n \to x$ ($x_n \in A$) とする。$X$ は第1可算かつ局所弧状連結であるため、点 $x$ には可算な基本近傍系が存在し、各近傍を弧状連結にとることができる。すなわち、弧状連結な開集合からなる縮小する局所基底 $V_1 \supset V_2 \supset V_3 \supset \cdots$ をとることができる。

点列 $x_n$ は $x$ に収束するため、部分列をとることで、各 $k \ge 1$ について $x_k \in V_k$ であると仮定してよい。
各 $V_k$ は弧状連結であるから、$x_{k+1} \in V_{k+1} \subset V_k$ と $x_k \in V_k$ を結ぶ連続な道 $\alpha_k: \left[ \frac{1}{k+1}, \frac{1}{k} \right] \to V_k$ が存在する。すなわち $\alpha_k\left(\frac{1}{k}\right) = x_k$, $\alpha_k\left(\frac{1}{k+1}\right) = x_{k+1}$ を満たす。

これらを無限に繋ぎ合わせた写像 $\gamma: I \to X$ を次のように定義する。 $$\gamma(t) = \begin{cases} \alpha_k(t) & \left( t \in \left[ \frac{1}{k+1}, \frac{1}{k} \right], k=1,2,\dots \right) \\ x & (t = 0) \end{cases}$$ この $\gamma$ が $t=0$ で連続であることを示す。$x$ の任意の開近傍 $U$ に対して、ある $N$ が存在して $V_N \subset U$ となる。$0 \le t < \frac{1}{N}$ なる任意の $t$ は、ある $k \ge N$ について区間 $\left[ \frac{1}{k+1}, \frac{1}{k} \right]$ に属するか、$t=0$ である。いずれの場合も $\gamma(t) \in V_k \subset V_N \subset U$ または $\gamma(0) = x \in U$ となるため、$\gamma$ は $t=0$ で連続である。$t>0$ では明らかに連続であるため、$\gamma$ は $I$ から $X$ への連続な道である。

さて、仮定より $\gamma^{-1}(A)$ は $I$ において閉集合である。
構成より、各 $k \ge 1$ について $\gamma\left(\frac{1}{k}\right) = x_k \in A$ であるから、$\frac{1}{k} \in \gamma^{-1}(A)$ である。
閉集合は点列の極限を含むため、$\lim_{k \to \infty} \frac{1}{k} = 0 \in \gamma^{-1}(A)$ でなければならない。
ゆえに $\gamma(0) = x \in A$ となる。これで $A$ が閉集合であることが証明され、$X$ が道生成空間であることが示された。